如何证明1+1=2？

1+1=2背后代表的是自然数公理化的历史。
自然数公理化，最早于1881年，由美国数学家皮尔斯提出，定义如下：
1是最小的数；
x+y，当x=1时，是下一大于y的数，其它情况，是下一个大于x⁻+y的数；
x×y，当x=1时，就是y，其它情况，为y+x⁻y；
其中，x⁻是上一个小于x的数。
因为，减法和除法分别是加法和乘法的逆运算（而且对自然数并不封闭），因此只需要公理化加法和乘法就可以了。
按照皮尔斯公理的定义，1+1是x=1的情况，它的值是下一个大于y=1的数，即，2。
之后，1888年德国数学家戴德金，给出了另外一套公理：
设非空N，给定N中的一个元素e∈N，已经N上的映射S:N→N，若满足：
e不是S的值，即：e∉ranS；
S是单射，即：∀n,m∈N，（S(n)=S(m)）⇒（n=m)；
归纳原理，即，对于任意子集A⊂N，如果e∈N并且若n∈A则S(n)∈A那么A就是N，即：∀A⊂N，(1∈N)∧((1∈N)⇒(S(n)∈A))⇒(A=N)，
则称三元组(N,e,S)是一个自然数系统，N称为自然数集，e称为初始元，S称为后继。
戴德金，从更本质的层次，对自然数进行了公理化，可以通过这套公理，定义自然数的加法和乘法运算从而和皮尔斯公理等价。
但是，这个公理系统表示的有些复杂（当时数理逻辑语言才刚刚建立），于是，没有引人们注意。
注：这里⊂是包含于，真包含于记为⊊。
紧接着第二年，即，1889年，意大利数学家皮亚诺，独立于戴德金，发布了皮亚诺公理：
0是自然数；
任意一个自然数n的后继数n⁺任然是自然数；
0不是任何自然数的后继数；
两个自然数相等当且仅当它们的后继数相等；
对于自然数集的子集A，如果0∈N并且若n∈A则n⁺∈A那么A就是自然数集。
很明显，皮亚诺公理就是戴德金公理的简化版本，因此也称为戴德金-皮亚诺公理。
注：最早，皮亚诺用1作为最小的自然数，并且将等价关系作为公理的一部分，上面是后来的改进版本。
用皮亚诺公理，定义自然数加法如下：
x+0=x
x+y⁺=(x+y)⁺
乘法如下：
x0=0
xy⁺=x+xy
利用上面的加法定义，证明题主的问题：
1+1=1+0⁺=(1+0)⁺=1⁺=2
以上不管是那个公理系统都是抽象的，在不同的数学领域有不同的实例，以皮亚诺公理为例有：
在最古老的算术下：
0=0
x⁺=x+1
在集合论下：
0=Ø
x⁺=x∪{x}
于是有：
1={0},2={0,1},3={0,1,2},...
丘奇数：
0=λ.sλ.zz
x⁺=λ.xλ.sλ.zxs(sz)
于是有：
1=λ.sλ.zsz，2=λ.sλ.zs(sz)，3=λ.sλ.zs(s(sz))
在范畴论下：
设C是一个范畴，1是C的终止对象，于是定义范畴US₁(C)如下，
US₁(C)的对象是一个三元组(X,0ᵪ,Sᵪ)，其中X是C的对象，0ᵪ:1→X和Sᵪ:X→X都是C的态射；
US₁(C)的态射f:(X,0ᵪ,Sᵪ)→(Y,0ᵧ,Sᵧ)就是C态射f:X→Y，并满足：f0ᵪ=0ᵧ并且fSᵪ=Sᵧf，
如果US₁(C)中可以找到一个初始对象(N,0,S)，即，对于任意对象(X,0ᵪ,Sᵪ)，有唯一的态射u:(N,0,S)→(X,0ᵪ,Sᵪ)，则称C满足皮亚诺公理。US₁(C)中每个三元组对象都是一个皮亚诺公理系统。
可以证明这些实例都满足皮亚诺公理定义的条件，因此这些实例都是良定义的。
（由于本人数学水平有限，出错在所难免，欢迎题主和各位老师批评指正！）
二、1+1＝2？哥德巴赫猜想
1、很多人不明白1+1＝2为什么要被证明，这不是常识吗？
然而这个问题背后大有来头，看似简单却又奇妙无比。我来回答一下为什么1＋1＝2需要被证明，以及为什么这么难以被证明。
2、什么是“1+1＝2”
所谓“1+1=2”，其实指的是哥德巴赫猜想，被称为世界近代三大数学难题之一。
1742年，哥德巴赫突发奇想：“任一大于2的整数都可写成三个质数之和。”然而哥德巴赫自己却无法证明，于是就给大名鼎鼎的欧拉写了一封信，提出了他的猜想，希望欧拉帮助他解决这个问题。
然而伟大的欧拉面对这个奇妙猜想，一直到去世，也没有办法给出合理的证明。有意思的是，至今几百年过去了，这道连小学生都能理解的题，却难倒了天下所有数学家。
3、一个激动人心的事实
目前最接近完美证明1＋1＝2的人我国的著名数学家陈景润先生，1966年，陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”理论。这个结论被称为“陈氏定理”，将哥德巴赫猜想的证明大大地推进了一步。
注：在这之前，其他数学家曾从“1+n”逐渐证明到了“1+5”、“1+4”、“1+3”，这也叫筛选法。
而陈景润的“1+2”与“1+1”仅差一步之遥。只要证明了“1+1”理论，哥德巴赫猜想便可以划上一个完美的句号了。
然而，实际上我们距离这个问题的完美证明还有很远的距离。
4、为什么难以被证明
很多人不理解为什么哥德巴赫猜想这么伟大，其实原因就在于这个猜想几乎可以为所有大于2的整数定义。就相当于告诉世人，看，所有的整数都是由质数构成的。
而这，就好像在没有显微镜的时候，突然有人提出原子是构成所有物质的最小要素一样。
证明哥德巴赫猜想的难度，和要在没有显微镜的情况下证明原子是构成万物的难度一样。
5、写在最后
在这个问题下面看到很多不友善的回答，希望题主不用理会，追求真理是一件伟大的事。不过好心提醒一句题主，不要试图自己证明1＋1=2，就算你宣称自己证明成功了，多半还是难免被冠以民科的称呼。
6、这个问题涉及到皮亚诺公理。
五个皮亚诺公理分别是：
（1）0是自然数；
（2）每一个自然数a，都有一个确定的后继数a'，且a’也是自然数；
（3）0不是任何自然数的后继数；
（4）不同自然数有不同的后继数，如果a、b的后继数都是自然数c，那么a=b；
（5）如果集合S是自然数集合N的子集，且满足两个条件：Ι、0属于S；ΙΙ、如果n属于S，那么n的后继数也属于S；那么S就是自然数集，这条公理也叫做归纳公理。
这个公理的第五条描述的比较恶心。鉴于你这个问题我们就讨论第二条就可以
第二条公理中，假设自然数1的后继数为x'，也就是说1+1=x'。然后我们就定义了x'叫做2，也就是说“1+1=2”；当然，你硬要定义为0也行，但是你就需要另外找一个名称，来代替原来的0，不然就和公理（3）矛盾了。
所以1＋1＝2这是人为定义，无需证明，也无法推翻。如果1＋1不等于2，毫不客气的说，当前数学界百分之99以上的定理将全部崩塌，数学就要重新开始。
总结：不过，1＋1还有一个含义，是哥德巴赫猜想的究极体形态。这个猜想目前还没有人可以证明，目前最好的证明是陈景润的1＋2，所以哥德巴赫猜想1＋1目前还无解，我当然也提供不了任何解决的思路。
如您还有其他对特的见解，欢迎留言一起讨论！

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