1+1=2背后代表的是自然数公理化的历史。 自然数公理化,最早于1881年,由美国数学家皮尔斯提出,定义如下: 1是最小的数; x+y,当x=1时,是下一大于y的数,其它情况,是下一个大于x⁻+y的数; x×y,当x=1时,就是y,其它情况,为y+x⁻y; 其中,x⁻是上一个小于x的数。 因为,减法和除法分别是加法和乘法的逆运算(而且对自然数并不封闭),因此只需要公理化加法和乘法就可以了。 按照皮尔斯公理的定义,1+1是x=1的情况,它的值是下一个大于y=1的数,即,2。 之后,1888年德国数学家戴德金,给出了另外一套公理: 设非空N,给定N中的一个元素e∈N,已经N上的映射S:N→N,若满足: e不是S的值,即:e∉ranS; S是单射,即:∀n,m∈N,(S(n)=S(m))⇒(n=m); 归纳原理,即,对于任意子集A⊂N,如果e∈N并且若n∈A则S(n)∈A那么A就是N,即:∀A⊂N,(1∈N)∧((1∈N)⇒(S(n)∈A))⇒(A=N), 则称三元组(N,e,S)是一个自然数系统,N称为自然数集,e称为初始元,S称为后继。 戴德金,从更本质的层次,对自然数进行了公理化,可以通过这套公理,定义自然数的加法和乘法运算从而和皮尔斯公理等价。 但是,这个公理系统表示的有些复杂(当时数理逻辑语言才刚刚建立),于是,没有引人们注意。 注:这里⊂是包含于,真包含于记为⊊。 紧接着第二年,即,1889年,意大利数学家皮亚诺,独立于戴德金,发布了皮亚诺公理: 0是自然数; 任意一个自然数n的后继数n⁺任然是自然数; 0不是任何自然数的后继数; 两个自然数相等当且仅当它们的后继数相等; 对于自然数集的子集A,如果0∈N并且若n∈A则n⁺∈A那么A就是自然数集。 很明显,皮亚诺公理就是戴德金公理的简化版本,因此也称为戴德金-皮亚诺公理。 注:最早,皮亚诺用1作为最小的自然数,并且将等价关系作为公理的一部分,上面是后来的改进版本。 用皮亚诺公理,定义自然数加法如下: x+0=x x+y⁺=(x+y)⁺ 乘法如下: x0=0 xy⁺=x+xy 利用上面的加法定义,证明题主的问题: 1+1=1+0⁺=(1+0)⁺=1⁺=2 以上不管是那个公理系统都是抽象的,在不同的数学领域有不同的实例,以皮亚诺公理为例有: 在最古老的算术下: 0=0 x⁺=x+1 在集合论下: 0=Ø x⁺=x∪{x} 于是有: 1={0},2={0,1},3={0,1,2},... 丘奇数: 0=λ.sλ.zz x⁺=λ.xλ.sλ.zxs(sz) 于是有: 1=λ.sλ.zsz,2=λ.sλ.zs(sz),3=λ.sλ.zs(s(sz)) 在范畴论下: 设C是一个范畴,1是C的终止对象,于是定义范畴US₁(C)如下, US₁(C)的对象是一个三元组(X,0ᵪ,Sᵪ),其中X是C的对象,0ᵪ:1→X和Sᵪ:X→X都是C的态射; US₁(C)的态射f:(X,0ᵪ,Sᵪ)→(Y,0ᵧ,Sᵧ)就是C态射f:X→Y,并满足:f0ᵪ=0ᵧ并且fSᵪ=Sᵧf, 如果US₁(C)中可以找到一个初始对象(N,0,S),即,对于任意对象(X,0ᵪ,Sᵪ),有唯一的态射u:(N,0,S)→(X,0ᵪ,Sᵪ),则称C满足皮亚诺公理。US₁(C)中每个三元组对象都是一个皮亚诺公理系统。 可以证明这些实例都满足皮亚诺公理定义的条件,因此这些实例都是良定义的。 (由于本人数学水平有限,出错在所难免,欢迎题主和各位老师批评指正!) 二、1+1=2?哥德巴赫猜想 1、很多人不明白1+1=2为什么要被证明,这不是常识吗?然而这个问题背后大有来头,看似简单却又奇妙无比。我来回答一下为什么1+1=2需要被证明,以及为什么这么难以被证明。 2、什么是“1+1=2” 所谓“1+1=2”,其实指的是哥德巴赫猜想,被称为世界近代三大数学难题之一。 1742年,哥德巴赫突发奇想:“任一大于2的整数都可写成三个质数之和。”然而哥德巴赫自己却无法证明,于是就给大名鼎鼎的欧拉写了一封信,提出了他的猜想,希望欧拉帮助他解决这个问题。 然而伟大的欧拉面对这个奇妙猜想,一直到去世,也没有办法给出合理的证明。有意思的是,至今几百年过去了,这道连小学生都能理解的题,却难倒了天下所有数学家。 3、一个激动人心的事实 目前最接近完美证明1+1=2的人我国的著名数学家陈景润先生,1966年,陈景润证明了哥德巴赫猜想中的“1+2”理论。这个结论被称为“陈氏定理”,将哥德巴赫猜想的证明大大地推进了一步。 注:在这之前,其他数学家曾从“1+n”逐渐证明到了“1+5”、“1+4”、“1+3”,这也叫筛选法。 而陈景润的“1+2”与“1+1”仅差一步之遥。只要证明了“1+1”理论,哥德巴赫猜想便可以划上一个完美的句号了。 然而,实际上我们距离这个问题的完美证明还有很远的距离。 4、为什么难以被证明 很多人不理解为什么哥德巴赫猜想这么伟大,其实原因就在于这个猜想几乎可以为所有大于2的整数定义。就相当于告诉世人,看,所有的整数都是由质数构成的。 而这,就好像在没有显微镜的时候,突然有人提出原子是构成所有物质的最小要素一样。 证明哥德巴赫猜想的难度,和要在没有显微镜的情况下证明原子是构成万物的难度一样。 5、写在最后 在这个问题下面看到很多不友善的回答,希望题主不用理会,追求真理是一件伟大的事。不过好心提醒一句题主,不要试图自己证明1+1=2,就算你宣称自己证明成功了,多半还是难免被冠以民科的称呼。 6、这个问题涉及到皮亚诺公理。 五个皮亚诺公理分别是: (1)0是自然数; (2)每一个自然数a,都有一个确定的后继数a',且a’也是自然数; (3)0不是任何自然数的后继数; (4)不同自然数有不同的后继数,如果a、b的后继数都是自然数c,那么a=b; (5)如果集合S是自然数集合N的子集,且满足两个条件:Ι、0属于S;ΙΙ、如果n属于S,那么n的后继数也属于S;那么S就是自然数集,这条公理也叫做归纳公理。 这个公理的第五条描述的比较恶心。鉴于你这个问题我们就讨论第二条就可以 第二条公理中,假设自然数1的后继数为x',也就是说1+1=x'。然后我们就定义了x'叫做2,也就是说“1+1=2”;当然,你硬要定义为0也行,但是你就需要另外找一个名称,来代替原来的0,不然就和公理(3)矛盾了。 所以1+1=2这是人为定义,无需证明,也无法推翻。如果1+1不等于2,毫不客气的说,当前数学界百分之99以上的定理将全部崩塌,数学就要重新开始。 总结:不过,1+1还有一个含义,是哥德巴赫猜想的究极体形态。这个猜想目前还没有人可以证明,目前最好的证明是陈景润的1+2,所以哥德巴赫猜想1+1目前还无解,我当然也提供不了任何解决的思路。 如您还有其他对特的见解,欢迎留言一起讨论!
首先有一组公理叫做皮亚诺(Peano)算术公理.它由以下五条公理组成. 1.0是自然数 2.每一个自然数有一个后继是自然数. 3.0不是任何自然数的后继 4.如果两个自然数有相同的后继,那么这两个自然数相等. 5.对于任意一个关于自然数的性质P(n).如果n=0的时候P(0)为真,当P(n)为真可以推得出P(n+1)为真,则P(n)对于任意一个自然数为真.这个就是数学归纳法公理. 然后定义加法.因为这时加法没有定义.所以要定义. 定义运算+满足: 1_ 0+m=m 2_ (n+)+m=(n+m)+ (注n+表示n的后继. 则 1+1=(0+)+1 (由公理2) =(0+1)+ (由加法定义2) =1+ (由加法定义1) =2 (由公理2) 建议楼主去看看里面给出了皮亚诺算术公理.然后定义加法.之后定义减法得到整数集.然后定义乘法除法得到有理数集.进而通过柯西列定义了实数(许多数学分析书籍是用戴德金分割的方法定义实数比如Rudin的"Baby Rudin")