特征值可以是分数吗

特征值可以是分数。

特征值是

线性代数

中的一个重要概念，在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。

特征值是指设A是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值或

本征值

。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的

特征向量

或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

求特征值

描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是

单位矩阵

）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于

行列式

|A – λI|=0。

函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。

一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。

反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果

重根

也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于

偶数

或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。

热门标签

热门标签