高等数学多元函数微分学求最值问题

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《轻松学点

微积分

》书评
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书评缘起
去年5月份，笔者得到了科学出版社张中兴编辑（老师）的赠书《轻松学点微积分》。出于对书名的好奇心，笔者一口气就读完了这本图书，并且自认为读起来的确很“轻松”。微积分是大学理工科专业必学的一门科目，这样的课程也称为“

高等数学

”。所谓微积分，包含微分学和积分学，在处理很多现实的问题上起到了良好的作用。因此，学好微积分，对于理工科专业的同学来说非常必要。
毫无疑问，市面上显然有各类各样的介绍微积分方面的教材和科普书籍。那么，很自然的问题是，为什么本书的作者卓永鸿老师要写作这样一本“学起来轻松点”的微积分教材呢？
关于这个问题，作者曾在前言部分中发表了这样的观点：
“笔者深深觉得，许多人在微积分这门学科的表现之所以不够理想，往往并非天分不佳或学习态度不良，而是没有抓住微积分各主题中的核心精神，停留在抽象符号操作，于是不得其门而入。”
的确，正如作者所说，当下很多微积分教材往往注重于

数学符号

与公式的简单罗列，而未能将微积分中一些定理较为直观地展现给读者。长久下来，很多人对微积分感到深恶痛绝，甚至于说一辈子都不想看到牛顿和

莱布尼兹

的求导符号。
然而，要解决这一问题并非那么容易的，本书作者正是借助自己对微积分“浅显易懂”的阐述方式来试图缓解这一糟糕状况。
2
本书特点
细品本书，不难发现该书有如下几大特点：
（1）结合数学史介绍微积分
当下不少微积分教材主要在阐述数学结果本身，因此多是以“定义-定理-例题-习题”这样的模式展开介绍，很难吸引读者的阅读兴趣。本书的特点之一是穿插介绍数学史，通过数学史的介绍以达到数学学科与历史学科的有效融合。值得特别注意的是，本书的每一章节最开始部分都会放置数学家或者其他领域大家的一段名言，比如本书第二章“微分学”就有哲学家

伏尔泰

关于微积分的深刻观点：
“微积分是精确地计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术。”
尽管在很多人看来，数学家的名言名句并不能帮助自己理解那些看起来枯燥无味的数学公式，然而，需要引起格外关注的是，这些领军人物的看法往往可以帮助自己较快地理解一门学科的本质内涵。当然，在这本书中，通过在每一章节前放上名言名句，可以有效地奠定本书的主题基调（没错，你就是在读一本微积分书籍！）。
除此之外，作者在本书中花了较大的笔墨阐述了一些关于微积分的数学史料，比如历史上的牛顿与莱布尼兹关于微积分的版权之争、最速降线问题、洛必达与伯努利的故事等。即便这些都是微积分里面的经典事实，然而作者却不落俗套，用自己独有的风趣幽默语言将这些陈年往事如数家珍，让笔者认为眼前正是有一位有趣的数学老师在教微积分史。此外，细读作者的文字可以感受到作者本人具有较为浓厚的台湾腔（比如书中第174页中间文字“其实这两种拼法在

法文

中是等价的，都可以啦！”），所以可以理解为是“台湾特色”的微积分史。
（2）详细展现解题思路以处理问题
微积分的本质还是微分学和积分学理论。其中，微分学部分中涉及到导数、可微等概念，当中涉及到的数学大定理包括有：

费马定理

、罗尔定理、

拉格朗日中值定理

、柯西中值定理等。这些数学大定理也帮助了广大学习微积分的学友了解了国外的一批数学家：费马、拉格朗日和柯西等。积分学理论部分中主要涉及的是黎曼积分，其区别于数学系实变函数课程中的勒贝格积分。
数学理论的把握主要是在

数学分析

中体现，而本书的目的是轻松学点微积分，自然要以数学计算作为主要讲解目标。比如，如何计算一个函数的导数？如何计算一个函数的不定积分和定积分？如何计算一个二重和三重积分？诸如此类，这些都是微积分教学中要解决的关键问题，理论证明则要处于次要地位。
本书还有一个特点是：作者用自己的通俗语言和思维方式展现了解题的关键思路。
比如作者在证明

函数极限

问题时，一步步介绍如何运用数学技巧来达到最终目的，比如有的习题需要分子有理化，有的习题需要用到

三角不等式

。比如在书中例1.4.12中，作者写下了这样一段话：
“接下来用一招，看清楚了，这叫三角不等式。”
不知道的读者还以为自己误入武侠小说之中，怎么还有招数一说？其实，数学圈本身也可以看做是一个小江湖，在这个江湖里做题用的招数也就是数学里面的武功秘籍。笔者曾经有一个不恰当的观点：“数学技巧犹如花拳绣腿，数学思想犹如内功心法”。如果用在这里，那么三角不等式的确算是一个招式，只不过是简单的花拳绣腿罢了。
（3）善于用图直观化数学概念
初翻本书，很难不被作者所制作的精美几何图象所吸引。在微积分中，形式化的符号运算难免让人们产生厌烦情绪，极少有人愿意一直与数学公式打交道。事实上，如果了解过生物学科的期刊论文，不难看出它们的文章都是“看图说话”的。数学其实本来也应该如此。据说数学家之间讨论学术问题往往是先画一个图，然后根据图再来补上相应的数学描述。
在这本书中，令人惊艳的图形自然是对二、三维几何图象的绘制。尤其是，在遇到

二重积分

与三重积分的问题时，如果有一个较为直观的几何图象帮助我们理解问题，那么就会达到化繁为简的目的。实际上，本书中所带有的插图何其多也，其所体现的直观理解数学概念的功效也自不必说。
巧用LaTex精心排版书籍
笔者初拿到该书不久，就对本书的排版感到赏心悦目。在惊讶作者的排版功底之余，本书的编辑张中兴老师告诉笔者：“作者卓永鸿老师是一位tex排版高手，是她目前所认识的第二个tex这么厉害的大佬人物。”此外，张老师也补充说道：“除了不能画图哗啦哗啦超级迅速外，基本上就是课堂笔记老师随讲随记的排版速度”。
笔者虽未见过卓永鸿老师，但是通过看这本书的排版以及张中兴老师的描述，断定所言肯定非虚（毕竟数学人严谨！）。
本书在LaTex排版方面的确是很见功力，非一般的LaTeX玩家可以与之相比。一个显著的事实是，作者在本书的解题过程部分中穿插了很多箭头，以及在各种定义、定理和性质部分的排版上别具一格。笔者认为，国内很多数学书籍的排版势必要向该书学习。
3
写在最后
关于《轻松学点微积分》这本书，所罗列的特点仅是书中优点的一部分，其他优点有待读者自己去挖掘发现。关于本书的缺点之处，其中之一自然是本书没有继续介绍曲面积分和曲线积分理论。本书全书分为十二章，然而第12章仅介绍二、三重积分，因此在笔者看来这还不能完全满足想要学习微积分的同学。
笔者亦是一名数学系学生，写文评价数学老师的书籍多少有点不合适。因此，这里借用

上海师范大学

数学系

陈跃

老师曾告诫笔者的一句话结尾：
“读一本书要将自己想象成作者本人，如果是你来写你能写得出来吗？为什么要这样写？”
4
编辑小语
小朱老师太自谦了，小朱老师是同济大学数学科学学院在读研究生，感谢他学习科研之余为“微积分小白书”倾情奉献的书评，下面把《轻松学点微积分》详细的书籍信息展现如下，献给喜欢微积分喜欢学习的你~
内容简介
轻松学点微积分
作者：卓永鸿
一本轻松有趣的微积分读物
适读人群：对微积分感兴趣、想要微积分入门的人，想增强数学素养的文科生，正在修课、准备考试而感到微积分学习有困难的同学，其他想要了解微积分的读者。
这是一本教读者微积分轻松入门的读物，也是一本轻松简单适合自学的书。《轻松学点微积分》语言轻松幽默，通过大量贴切具体的图形图像尽可能生动地介绍微积分各个主题概念的由来，将中学数学与高等数学完美衔接，中间穿插数学史还原数学思想的产生思路，还有常用的高等数学符号趣谈加深读者学习印象，了解微积分发展的来龙去脉。作者总结多年微积分教学经验，用尽可能浅显易懂的语言，总结

学习方法

、归纳实用规律，指出常见错误和学生学习盲点，提供详细的解题技巧，中间还穿插一题多解拓宽视野，助力读者轻松快乐地从更高角度掌握微积分具体知识点，让读者对微积分有比较清楚的认知。特别地，本书对中国古代数学和古代数学思想多有介绍，让读者在轻松入门微积分的过程中也能体会到中国古代先哲对数学的贡献。
本书目录
目录
第1章极限与连续 1
1.1 微积分的起源 1
1.2 数列的极限 5
1.3 连续函数与函数的极限 16
1.4 极限的严格定义 30
1.4.1 极限的定义 30
1.4.2 用极限定义作证明 35
1.5 连续函数的性质 40
1.6 自然指数与自然对数 45
1.6.1 自然指数 45
1.6.2 自然对数 48
1.6.3 利用e的定义解极限 49
1.6.4 e之趣谈 52
1.7

等价无穷小

代换 56
1.7.1 动机介绍 56
1.7.2 无穷小的分阶 57
1.7.3 等价无穷小代换 58
1.8 渐近线 63
1.8.1 水平渐近线 64
1.8.2 铅直渐近线 66
1.8.3 斜渐近线 67
第2章微分学 73
2.1 导数的定义 73
2.2 导数的性质与幂函数的导函数 80
2.3 三角函数与指对数函数的导函数 91
2.4 高阶导数 96
2.5 链式法则 99
2.6 单侧导数 103
2.7 隐函数的求导 111
2.8 反函数的求导 117
2.9 取对数求导法 122
2.10 参数式求导 125
2.11 微分 131
第3章微分学的应用 135
3.1 切线与法线 135
3.2 变率问题 140
3.3 函数的单调性与凹凸性 143
3.3.1 函数的单调性 143
3.3.2 函数的凹凸性 147
3.4 极值问题 153
3.4.1 一阶检定法 155
3.4.2 二阶检定法 157
3.5 绘制函数图形 160
3.6 微分中值定理 165
3.7 洛必达法则 170
3.7.1 洛必达法则的使用介绍 170
3.7.2 洛必达法则的误用探讨 176
第4章积分学 181
4.1 积分的定义 181
4.2 积分的基本性质 191
4.3 微积分基本定理 196
4.3.1 微积分基本定理第一部分 196
4.3.2 微积分基本定理第二部分 200
4.4 不定积分 202
4.5 曲线间所围面积 206
第5章积分技巧 211
5.1 分部积分 211
5.2 变量代换 217
5.2.1 第一换元法 217
5.2.2 第二换元法 223
5.3 三角代换 225
5.4 有理函数的积分：部分分式法 232
5.5 三角函数的积分 243
5.5.1 三角函数的幂次 243
5.5.2 含有sin(x)及cos(x)的有理式 252
5.5.3 巧妙的换元 254
5.6 反常积分 256
5.6.1 第一类反常积分(积分范围无界) 256
5.6.2 第二类反常积分(函数无界) 259
5.6.3 反常积分的敛散性 261
5.7 积分技巧杂谈 265
第6章积分学的应用 276
6.1 曲线弧长 276
6.2 求体积 283
6.3 旋转体体积 287
6.3.1 圆盘法 287
6.3.2 剥壳法 291
6.4 旋转体的表面积 295
第7章特殊函数 299
7.1 双曲函数 299
7.1.1 双曲函数的定义 299
7.1.2 双曲函数的基本公式 302
7.1.3 双曲函数的导函数 306
7.1.4 反双曲函数 306
7.1.5 反双曲函数的导函数 308
7.1.6 双曲函数在大一微积分中的应用 309
7.2 伽马函数 310
第8章无穷级数 313
8.1 无穷级数的收敛与发散 313
8.2 积分审敛法 321
8.3 比较审敛法 326
8.4 比值审敛法与根值审敛法 331
8.5 交错级数审敛法 335
8.6 条件收敛与绝对收敛 341
8.7 幂级数 349
第9章泰勒展开 356
9.1 泰勒展开：多项式逼近函数 356
9.1.1 泰勒展开式 356
9.1.2 间接展开法 360
9.2 多项式逼近的应用 368
9.3 泰勒定理与余项 373
9.4 幂级数的和函数 381
第10章极坐标 390
10.1 极坐标简介 390
10.2 极坐标中的常见曲线 399
10.3 极坐标求面积 402
10.4 极坐标求弧长 409
第11章多元函数的微分学 413
11.1 多元函数简介 413
11.2 多元函数的极限 416
11.3 偏导数 422
11.4 全微分 429
11.4.1 通俗不严谨的讨论 429
11.4.2 理论探讨 431
11.5 多元函数的链式法则 434
11.6 多元函数的隐函数求导 439
11.7 梯度、方向导数与切平面 443
11.7.1 梯度的定义 443
11.7.2 方向导数 443
11.7.3 切平面 449
11.8 多元函数的极值问题 450
11.9 条件极值：拉格朗日乘数法 456
第12章重积分 466
12.1 二重积分 466
12.2 三重积分 480
12.3 重积分的换元法 488
12.4 极坐标代换 499
12.5 圆柱坐标代换 504
12.6 球坐标代换 508
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