举例说明复变函数与实变函数的区别
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因为太帅被罚块
2024-11-06 04:18:35
自然数
n 使得 f(z) = z^n g(z), 其中 g 全纯并且 g(0)≠0实变函数
一般是提不出 z^n 这种东西的2. 刚性定理（或者叫最大模原理）：设 f(z) 在 C 的一个区域上全纯，在其闭包上连续，如果 f 在边界上恒为 0，则 f 只能处处为 0
实函数没有这么硬，比如磨光核就是在边界上为 0 的非负光滑函数，并且积分=1
3. 紧复流形到 C 的全纯映射只能是常值映射
这个在实变函数里是绝对不可能有的定理，再次说明了
复变函数
的刚性，也就是非常硬，稍微加点条件就是常数。4. 如果 f 在 C 的一个区域上全纯，并且在 z_0 的附近不是常值函数，那么 f 在 z_0 附近一定是开映射，并且不是一个分歧覆盖就是局部解析同胚。
这也是实变函数不可想象的结论，即便对一般的
线性空间
，也要满足一些比 “不是常数” 苛刻得多的条件才有开映射定理。5. 对复变函数 f, 如果 f ' 存在，f '' 就存在，这样一直下去，就推出 f 全纯
但是很明显有一阶可导但二阶不可导的实变函数
6. Liouvielle 定理. C 上的有界全纯函数一定是常数
这个对实变函数也是不可想象的，比如 arctan x 就是 R 上的有界光滑函数，但不是常数
7. 全纯函数一定是
调和函数
，故满足平均值
原理。但是实变的光滑函数有很多都不是调和函数，比如平面上的函数 z = x^3 + y^3
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