关于群表示论的一点废话
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深夜不及人心
2024-11-06 01:39:05
讲义大致分为两部分, 第一部分是有限群表示, 第二部分主要是紧群的表示. 在教学实践中我们用了七次课讲有限群, 四次课讲紧群, 最后一次课陈述SL2(R) 表示的基本结果. 详细的课程进度我们之后有记录.
有限群的部分我们主要讨论了半单性, 正则表示的分解(即有限群的Peter–Weyl 定理) 和诱导表示的构造. 这些内容都是标准的. 作为应用, 我们研究了有限域上二阶矩阵群的表示. 最后我们讨论了淡中忠郎重构定理, 即用表示范畴反过来构造出群. 虽然定理的证明很简单, 但这里的思想方法是学生不熟悉的, 所以在教学中我们重点强调定理到底说了什么, 而不是定理怎么证明. 整个第一部分内容可以作为本科生学完了基本的抽象代数之后的一门短课或者是读书班的材料. 在这里我们力求叙述简明扼要, 用最短的篇幅和最直接的逻辑路线讲述有限群表示的基本内容.
紧群的部分我们以Peter–Weyl 定理为中心. 由于学生对拓扑群比较陌生, 这一部分的叙述风格较第一部分有些许不同. 我们依然力求简明, 但在最求简明的同时我们也尽量加上一些讨(fèi) 论(huà), 以求帮助大家理解. 我们也更强调例子, 有些地方我们甚至直接讲例子而对一般的理论避而不谈. 首先我们复习Fourier 级数的相关理论, 并解释为什么它就是S1 的表示论. 接下来是两节一般理论, 主要是证明Peter-Weyl 定理和讨论抽象紧群上的Fourier 级数理论. 接下来我们又回到例子, 用具体的群SU(2) 理解和深化之前讲的定理. 我们最后讨论了紧群的淡中忠郎重构定理作为有限群同名定理的呼应, 但在教学实践中我们并没有讲授这个定理的证明.作为课程的结尾, 我们陈述了SL2(R) 表示的分类. 大部分的结论都没有证明(也不可能在这么短的一门课里证明). 我们希望大家以此作为进一步学习的开端.
最后一节我们汇集了一些相对复杂一点的材料, 这些材料都被包装成了习题. 这些习题都是大家能用在课上学过的知识看懂的, 绝大部分也能用上课学过的知识做出来. 当然了, 做不出来也不要紧, 本来就难嘛. 留着慢慢想也不错.
我们的学生来自祖国大江南北, 大家为了一个共同的梦想来到北京, 在漫漫长夏享受着表示论的世界吹来的清风. 到了后来, 北京越来越热, 为了更凉快一点, 大家天天上课坐飞机甚至坐火箭, 只为了让风更大一点. 学生大部分大二或者大三, 一般来说学过一点抽象代数, 测度论, 复变函数, 部分学生听说过一点群表示论和泛函分析的皮毛. 我们用到的结果基本就是群论线性代数, 紧群的部分用到一些简单的泛函分析(也就是用来说话方便). 只要大家学过群论和线性代数, 我们都欢迎来学习表示论. 这么多款表示论总有一款适合你.
最后我要提到一个值得警惕的现象. 学生们对我讲表示论的干货很多时候提不起兴趣, 不愿意自己动手做计算, 反而对抽象的没有内容的废话热情很高. 这要举出一些典型的例子. 先讲GL2(Fq) 的时候觉得太具体没意思, 接着讲淡中重构定理的时候看到范畴论如何如何热情来了.
再者讲到群上做Fourier 分析, Plancherel 公式的时候觉得这纯粹就是微积分没啥意思, 结果提到个群代数是C*-代数的时候两眼发光. 我并不是说喜欢抽象的东西不好, 而是说抽象的东西要用具体的实例来支撑. 抽象的工具要为具体的问题服务. 我们现在看到的这些抽象的数学, 它是好数学的原因不是因为它复杂抽象结构好看听上去高大上, 而是因为它能帮助我们解决之前我们搞不定或者搞起来繁琐不堪的问题, 或者是让我们能在更高的层次上洞察问题的本质. 大家都很崇拜Grothendieck 大神, 他重写了整个代数几何的框架. 但我们一定要意识到, Grothendieck重新做抽象的框架是为了解决代数几何中若干具体的问题, 特别的就是要跟Weil 猜想这个在理论和实践上都有重大意义的问题刚正面. 所以大家要记住, 不能为抽象而抽象, 抽象一定要为具体的问题服务.
我们每次课一个半小时, 一周三次, 安排在周二四五上午, 下午有助教的辅导和教员的答疑.课时共计十八小时. 学生极其优秀的质量和让人叹为观止的勤奋刻苦精神使得课程的进展非常顺利. 我在Purdue University教书的时候有学生跟我说You lecture like a rocket. 我想在这里我讲课的进度可能不只是火箭而是超级星际航行宇宙飞船吧. 我认为, 在正常的教学实践中, 速度大致放慢一半或者一多半是可行的. 再加入大量具体的例子操作给学生看那就是更好的. 某些(我们都假设学生知道的) 预备知识或者背景知识也应该包含在正常的教学内容当中(代数上的模, 范畴论, 简单的泛函分析等等).
这门课的内容作为大三或者大四一学期三十六或者四十八小时的数学专业选修课是合理的. 总结一下, 讲课的进度大致如下:
1. 有限群表示的定义, 半单性, 正则表示定理的陈述.
2. 特征标的定义, 正交性, 右正则表示的分解, 不可约表示维数.
3. 矩阵系数, 正则表示的分解; 两个定理: 不可约表示维数整除群的阶, Burnside 可解性定理.
4. 诱导表示, Frobenius 互反律, Mackey 子群定理.
5. GL2(Fq) 群的结构, 抛物诱导表示.
6. 尖表示, 用Weil 表示构造尖表示(我们省略了分裂的情况, 也跳过了定理4.4.2 之后关于迹的计算).
7. 有限群的淡中忠郎定理.
8. Hilbert 空间, 圆圈的表示和Fourier 级数.
9. 紧群表示的基本事实, 不可约表示都是有限维的(我们跳过了证明), Peter–Weyl 定理(我们强调了定理的陈述并告诉学生如果没学过紧算子这个证明可以跳过去). Peter–Weyl 定理的证明大致花了半个小时.
10. 紧群上的调和分析. 我们重点强调用Peter–Weyl 定理构造L2(G) 的标准正交基.
11. SU(2) 的表示和调和分析. 我们跳过了Weyl 积分公式的证明, 也没有过多的讨论轨道积分的性质. 也就是就事论事, 证出Plancherel 公式, 强调它的重要性, 结束.
12. SL2(R) 的离散序列表示和酉主序列表示的构造, Plancherel 公式的陈述.
我们提一下关于学习的一些看法. 首先, 对于有志于学习数学的学生, 到了一定的程度(取决于大家的天分, 但大致上以实变函数抽象代数为界), 再学新东西, 第一次就什么都弄明白是不太现实的. 其次, 也是恰恰到了这个阶段, 对于学习的要求也大大提升了, 一般来说, 它要求我们在短时间之内搞懂一门学问的核心内容. 这很难, 对不对?
问题来了, 什么叫学懂了? 我想强调一点, 至少是我认为很重要的一点, 把定理的证明都过一遍甚至记住它并不等价于真正意义上的懂. 我认为, 学习最要紧的是建立正确的直观, 正确直观的建立是学懂的标志. 什么是正确的直观? 我觉得意思应该是说当看到某个定义某个定理的时候, 脑袋里能本能地建立下面这些东西: 最具有代表性最能反映问题本质的例子, 定义或者定理的合理性(为什么是这样定义而不是那样定义), 定义和定理的必要性(为什么要做这样的定义或者是为什么要做这样的定理), 这个定理为什么是对的(有没有什么哲学上的原因能解释这个定理) 等等.
举个小例子. 我们看到定理“函数Riemann 可积分当且仅当函数的间断点集是零测集” 的时候会想到什么? 下面是几个重要的方面:(1) 零测集的意思是说集合里的点不太多, 但这个条件又比可数稍微弱一点; (2) Riemann 可积分说明函数连续性不能太差, 这个定理给出了“不能太差” 的准确意义, 所以它应该是对的; (3) Riemann 函数是一个在所有有理数点处间断无理数点连续的函数, 所以它是可以积分的. 你也许还能想到别的很多东西, 但我想说的是, 相对于这几样东西, 定理本身的证明并没有那么要紧.要建立正确的直观无疑是有难度的. 而克服这些困难最终完成正确直观的建立需要的是大量的积累. 积累的不仅仅是知识, 还有例子. 在某种意义上, 例子就等价于直观, 直观是例子的内在本质, 例子是直观的外在表象. 在我们脑子里例子不足的时候, 建立直观是困难的. 所以我们要反复学习, 反复自己研究例子. 大家一定要亲自动手算例子, 看别人算例子那永远是别人的例子不是自己的. 这个就像看别人游泳自己永远也学不会. 只有自己下水扑腾或者喝几口水之后才可能学会游泳. 第一次学不懂算不出来不要紧, 甚至前几次学不懂算不出来也不要紧. 大家千万不要怀疑自己, 大家欠缺的仅仅是例子和经验的积累而已. 例子当然也是相对的. 今天抽象的内容明天就成了更抽象的内容的例子. 就如同矩阵可以作为线性方程组的抽象, 而矩阵本身又是更一般算子的具体例子. 有个很玄学的东西叫做数学成熟度. 我想, 脑子里的例子的丰富程度也算是数学成熟度的重要方面吧.
我们学习的过程中, 往往是靠着例子向前推进的. 碰到一个定义或者定理, 先举个例子给自己看看, 看看自己能不能举一个不那么平凡的例子. 正面的反面的例子都需要. 例子算多了自然就有了感觉. 比方说, 学习群, 我们首先问自己, 我们脑袋里有多个具体的群的例子? 我们对这些例子到底了解到什么程度? 比方说我们会碰到一个经典的结果: 最小的非交换单群是A5. 我们第一反应, 为啥? 先试试咯, 拿几个阶数比60 小的群来试试. 然后我们发现, 随便试个什么例子, 总有这样那样的原因使得它不是非交换单群. 在试错的过程中你会碰到Sylow 定理, 会碰到关于p-群的结果, 会碰到其他各种各样的小结论. 当你试了足够多的例子你觉得自己心理上已经能接受“最小单群是A5” 的时候, 虽然你没看证明, 其实你已经基本上“懂” 这个结论了, 因为你大体上已经知道别的群为什么不行. 又比方说, 学习Galois 理论, 我们先看到了Galois 理论的主定理. 这个时候就自己来试试手呗. 我们自己拿个方程来算算Galois 群(比方说x3 + x + 1的Galois 群你会算吗?), 或者随便写个域扩张问问是不是Galois 扩张? 能不能写下所有的中间域?
古人云: 书读百遍, 其义自见. 但那是古人的书,《古文观止》不知道会不会读上百遍就能秒懂.
学数学光读书百遍或许就没什么用了, 但例子算百遍绝对是有益的.
另一方面, 我们说了要快速抓住一门学问的核心内容. 怎么能快速的抓住一门学问的核心内容? 最简单的答案: 让懂行的人给你讲. 从别人那学习, 尤其是学习骨干内容, 是效率最高的方法.对于这门课, 我尽我最大的努力去做那个懂行的人, 去给大家用尽可能简洁直接的方法描述表示论(我认为) 最要紧的内容. 稍微复杂一点的答案: 把书读薄. 华罗庚告诉过我们, 读书要先读厚,再读薄. 我想, 读厚的过程是算例子建立直观的过程, 读薄的过程是抓住主干内容的过程. 我们前面说的都是把书读厚的过程. 怎么把书读薄? 一个简单的练习是, 给你一个小时的时间, 讲讲一门学问最主要的内容. 最重要的研究对象是什么? 最要紧最本质的定理是什么? 这个定理为什么是对的(注意这不是证明而是哲学)? 这时候我们就要去粗取精, 直捣黄龙, 一切问题只为核心服务. 我没有办法帮大家把书读厚, 如前所述, 那需要大家自己疯狂的努力. 我希望这门课能为把书读薄的过程做一点小小的贡献.
我离一名优秀的数学家和优秀的数学教师都还差得很远(这里要隆重请出我的老师和各位师兄弟们, 我水平有限常常有愧对师门的感觉), 这让我对很多问题的认知或许不是最优的. 我的文学修养也十分有限, 写下的东西可能言不及义, 可能没法表达出我心里最本质的想法.
简言之,就是语文和数学都没怎么学好. 不过不要紧, 这个世界上有学问和修养都远远高于我的人, 他们写过很多值得一读的东西. 这里强力推送两本书的前言:
1. Polya, Szego, 分析中的问题与定理. 这是经典中的经典. 习题恒久远, 一本永流传. 书的前言读起来让人爽得欲仙欲死.
2. 伍洪熙, 黎曼几何初步. 我不是几何学家无法评价这本书的内容, 但前言却让我读过不下十遍. 在我极其有限的阅读范围之内这是最优秀的中文数学书前言.
作为结尾, 我请出两本表示论教材.
1. Serre. 有限群表示.
2. Fulton, Harris. 表示论.
这两本书真是把书读厚和把书读薄的经典教案. Serre 的书就是薄, 言简意赅, 三言两语直指核心. 我最崇拜Serre 写书, 简直要想把膝盖直接送给他老人家了. Serre 写书证定理如砍瓜切菜, 逻辑结构包装得精美绝伦, 各种困难仿佛瞬间灰飞烟灭. 当然这书太干了读快了容易噎.Fulton 和Harris 的书就是厚, 没有什么内容的厚, 罗哩叭嗦婆婆妈妈说了一大堆废话. 这是把书读厚的经典: 里面全是例子! 全是例子! 全是例子! 例子带你爽到起飞!
很多同学都在问学完了这个课之后接下来学点什么. 这当然取决于你接下来想干什么. 不过总而言之言而总之, 有一些东西还是标准材料, 值得每个数学工作者掌握. 这方面最主要的恐怕就是两个: 紧李群的最高权表示理论和复半单李代数的分类及表示. 大家可以参考的读物有：
1. Humphreys, Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. 言简意赅.
2. Knapp, Lie Groups Beyond an Introduction. 内容翔(luō) 实(suō), 写得也很清楚.
3. Sepanski, Compact Lie Groups. 内容很初等, 作为教材很不错.
非紧李群表示的入门也可以看看Knapp 的书Representation Theory of Semisimple Groups:
An Overview Based on Examples. 这书接近八百页, 内容包罗万象, 当然也就只是入了个门. 这方面内容已经是现在研究的热门方向了, 建议大家在有了基本的感觉之后直接看论文找题目做.
两横一竖就是干!
对数论学家来说, p-adic 群的表示也很重要. 基本的内容大多是从GL2 开始学习. 标准教科书要么是Jacquet–Langlands, 要么是Bump. 当然了, 更一般更深刻教材是Bernstein 大师1992 年在Harvard 的讲稿.
1. Jacquet, Langlands, Automorphic forms on GL(2). 这书或者说它的作者太过于出名, 以至于大家都管这书叫Jacquet–Langlands.
2. Bump, Automorphic Forms and Representations. 这书是标准教材. 一般被称为Bump.这个书错误颇多, 勉强能忍.
3. Bernstein, Notes of lectures on Representations of p-adic Groups, 在Bernstein 的主页上可以找到. 我们说过要向大师学习, 这就是大师. Bernstein 大师的东西都很值得学习.Jacquet–Langlands 和Bump 都是自守表示的教材. 这当然是数论中最要紧的部分之一. 学
自守表示的话读一本即可. 另外可以参考的是
1. Godement, Notes on Jacquet–Langlands Theory. 这个之前没有出版, 只是在IAS 内部印刷, 最近终于由高教社正式出版. 它比Jacquet–Langlands 原书内容少一些, 也更好读一些.
2. Gelbart, Automorphic Forms on Adele Groups. 这书在很长一段时间都是自守表示的标准教材, 流传甚广. 但是小错误极多, 排版印刷质量也很堪忧, 读起来非常酸爽(至少我当年学的时候是这感觉).
表示论是一门很大很大的学问, 我只能提及一些我相对熟悉的部分. 更多的还有比方说几何表示论, 量子群, 范畴化等等. 表示论也与几何拓扑学, 数学物理等方向联系紧密. 这些都是我不了解的, 也没有能力向大家深入地解释. 想了解表示论概观, 大家可以仔细看看表示论大师中国科学院数学院院长席南华院士在暑假学校做的高屋建瓴的报告: 表示, 无处不在.
一点废话，以上。
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