如图第二题求解详细过程
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心头的小情儿
2024-10-17 09:44:30
n=2时
（1+a1）（1+a2）=1+a1a2+a1+a2=2+a1+a2>=2+2√a1a2=4
命题成立
假设n=k时命题成立
n=k+1时 由于a1a2a3…a（k+1）=1
所以必存在ai,aj ai>=1>=aj
不妨设a1>=1>=a2
将a1*a2看成1个数 就成了n=k的情况
(1+a1a2)(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k)
只需要证明(1+a1)(1+a2)>=2(1+a1a2)就可以了
化简 a1+a2-1-a1a2=(a1-1)(1-a2)>0
故(1+a1)（1+a2）(1+a3)....(1+a(k+1))>=2^(k+1)
证毕
回答二：（完美）
证明：
因为a1,a2,a3……an都是正数
所以
1+a1≥2√(a1)＞0
1+a2≥2√(a2)＞0
1+a3≥2√(a3)＞0
……
1+an≥2√(an)＞0
(√表示根号）
所以将以上不等式两边全部乘起来得到
（1+a1）（1+a2）...（1+an）＞2^n√（a1*a2*a3……an)=2^n
(2^n表示2的n次方
回答三：（不靠谱）1+a1>=2*a1^(1/2)
1+a2>=2*a2^(1/2)
.
.
.
1+an>=2*an*(1/2)
有(1+a1)(1+a2)(1+a3)...(1+an)>=2^n*(a1a2...an)^(1/2)=2^n;
当且仅当a1=a2=...=an=1时，等号成立
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