已知数集A={a1，a2，…，an}（1≤a1＜a2＜…＜a...
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骑猪赏月看嫦娥
2024-10-17 10:36:43
与43
均不属于数集{1，3，4}，∴数集{1，3，4}
不具有性质P
…2分
由于1×2，1×3，1×6，2×3，62，63，11 ， 22 ， 33 ， 66
都属于数集{1，2，3，6}，
∴数集{1，2，3，6}
具有性质P…4分
（2）∵A={a1，a2，…，an}
具有性质P，
∴anan
与anan
中至少有一个属于A，由于
1≤a1＜a2＜…an，故anan∉A
…5分
从而1=anan∈A
…6分∴a1=1
…7分
当n=3
时，∵a3a1＞ a3a2＞ a3a3，a1=1，a2a3∉A，∴a3a1 ， a3a2， a3a3
都属于A
…8分
从而a3a1=a3，a3a2=a2，a3a3=a1，即a3=a1a3=a22，…9分
故数列a1，a2，a3
成等比数列…10分
（3）对于一切大于或等于3的奇数n，满足性质P
的数列a1，a2，…，an
成等比数列．
…12分
证明：由（2），不妨设n=2k+1（k∈N，k≥2）．首先易得a2k+1ai∉A（i=1，…2k），知
a2k+1a1， a2k+1a2， a2k+1a3，…，a2k+1a2k+1
都属于A，又a2k+1a1＞ a2k+1a2＞ a2k+1a3＞…＞a2k+1a2k+1，从而，有
a2k+1a1=a2k+1， a2k+1a2=a2k， a2k+1a3=a2k-1，…，a2k+1a2k+1=a1，即
a2k+1=a1a2k+1=a2a2k=a3a2k-1=…=ai+2a2k-i=…=a2ak+2=ak+12
…（﹡）
因为ai+ja2k-i＞ai+2a2k-i=a2k+1（0≤i≤k-2，3≤j≤2k-2i），所以，只有a2k-iai+3，a2k-iai+4，… ， a2k-ia2k-i
均属于A．
将i
从0
到k-2
列举，便得到：
第1组：a2ka3 ， a2ka4 ， a2ka5 ， … ， a2ka2k-1 ， a2ka2k，共2k-2
项；
第2组：a2k-1a4 ， a2k-1a5 ， a2k-1a6 ， … ， a2k-1a2k-2 ， a2k-1a2k-1，共2k-4
项；
第3组：a2k-2a5 ， a2k-2a6 ， a2k-2a7 ， … ， a2k-2a2k-3 ， a2k-2a2k-2，共2k-6
项；
…第k-1
组：ak+2ak+1 ， ak+2ak+2，共2
项．上一组的第2项总大于下一组的第1项，
再注意到a2ka3=a2k-1a2＜a2k-1，故第1组的各数从左到右依次为：a2k-2，a2k-3，a2k-4，…，a2，a1；第2组的各数从左到右依次为：a2k-4，a2k-5，a2k-6，…，a2，a1；第3组的各数从左到右依次为：a2k-6，a2k-7，a2k-8，…，a2，a1；
…第k-1
组的各数从左到右依次为：a2，a1．于是，有a2ka2k-1=a2k-1a2k-2=a2k-2a2k-3=…=ak+2ak+1=a2，由（﹡），ak+1ak=ak+2ak+1，akak-1=ak+3ak+2，…，a3a2=a2ka2k-1，又a2k+1a2k=a2，故数列a1，a2，…，an
成等比数列．…15分
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