北大绿卡练习册9年级数学下册33页9题怎么做
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小众情人
2024-09-04 08:17:41
二次函数：y=-1/2x^2+bx+c(c<0) 交x轴于A、B，交y轴为点C ，顶点为D；且OC^2=OA*OB
（1）求c的值。
（2）△ABC的面积=3，求二次函数解析式
（3）直线AC上一点P，使△PBD的周长最小，则求P点坐标。
解：
（1）设A(m,0),B(n,0),C(c,0) 即m+n = 2b mn=-2c
则OA*OB=m*n=-2c 而OC=-c ∴ c=-2
（2）AC的直线方程：y=2/m * x - 2
AB=n-m=√[(m+n)^2-4mn] = √(4b^2 + 8c) = 2√(b*b-4)
△ABC的面积：S=1/2*AB*OC= 2√(b*b-4) = 3
∴ b = 5/2
∴二次函数：y=-1/2x^2+5/2 * x - 2
（3）根据（2）得：m = 1，n = 4
即AC的直线方程：y=2x - 2
顶点D的坐标是（5/2，9/8），B点坐标是（4，0）
∴ B点关于AC直线的对称点B‘的坐标是（-4/5,12/5）
∵P是B'D与AC的交点
而B'D的直线方程是：3x+4y-12=0
∴ P点坐标为（20/11,18/11），此时△PBD的周长最小。
追问
1小题m+n为什么=2b,mn为什么=-2c，麻烦写出详细解析
追答
一元二次方程的韦达定理：两根之和=-b/a 两根之积=c/a
此题中A(m,0),B(n,0),是不是方程-1/2x^2+bx+c=0的两个根（即与x轴的交点横坐标）
∴m+n = 2b mn=-2c
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