行列式的副对角线为1,其它元素为0,行列式何解?

n阶行列式(n为自然数)
|0 0 0 ...0 0 1|
|0 0 0 ...0 1 0|
|0 0 0 ...1 0 0|
|..............|
|0 0 1 ...0 0 0|
|0 1 0 ...0 0 0|
|1 0 0 ...0 0 0|

(副对角线元素为1,其余元素均为零)
此行列式的值是?麻烦写出详细的计算过程及依据(比如用那条性质),谢谢。
最新回答
旭日东山再起

2024-08-11 00:48:08

直接按第一行展开
第一行只有n不为0,它的子式正好是个主对角线行列式
即(n-1)!
它的逆序为1+n,所以原行列式的结果为
(-1)^(n+1)
n!
辞慾

2024-08-11 19:54:29

将最后一行与前一行换,直到换到第一行.
同样,再把最后第二行也这样变换到第二行,.......
(-1)^n-1*(-1)^n-2*......*-1=(-1)^n(n-1)/2
海心

2024-08-11 20:22:52

(1)第二行×2,加到第一行:
0
25
2
18
(2)代数余子式(去掉第一列,第二行)
得到(-1)的三阶行列式:
25
2
18
25
8
0
6
2
0
6
0
8
3
0
8
用对角线法求得(-1)(25×6×3+0+0-0-25×2×8-0)=-50
凉月流沐

2024-08-11 18:55:00

n阶行列式(n为自然数)
|0 0 0 ...0 0 1|
|0 0 0 ...0 1 0|
|0 0 0 ...1 0 0|
|..............|
|0 0 1 ...0 0 0|
|0 1 0 ...0 0 0|
=(-1)^[(n+3)n/2].
|1 0 0 ...0 0 0|
|0 1 0 ...0 0 0|
|0 0 1 0 ...0 0|
|..............|
|0 0 0 ...1 0 0|
|0 0 0 ...0 1 0|
|0 0 0... 0 0 1|
=(-1)^[(n+3)(n)/2]