A是n阶矩阵，证明A有n个线性无关的特征向量时， A可对角化。求大神讲的明白一点～
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Mentos曼妥思
2024-05-19 10:30:50
n阶矩阵A相似于
对角矩阵
的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。证明过程：
（1）必要性
设有可逆矩阵P，使得
令矩阵P的n个
列向量
为则有
因而
为线性无关的非零向量，它们分别是矩阵A对应于
特征值
（2）充分性。
由必要性的证明可见，如果矩阵A有n个线性无关的特征向量，设它们为
即
推论
若n阶矩阵A有n个不同的特征值，则A必能相似于对角矩阵。
说明：当A的
特征方程
有重根时．就不一定有n个线性无关的特征向量，从而未必能对角化。扩展资料
对角矩阵(diagonal matrix)是一个主
对角线
之外的元素皆为0的矩阵，常写为diag（a1，a2,...,an) 。对角矩阵可以认为是矩阵中最简单的一种，值得一提的是：对角线上的元素可以为 0 或其他值，对角线上元素相等的对角矩阵称为
数量矩阵
；对角线上元素全为1的对角矩阵称为单位矩阵
。对角矩阵的运算包括和、差运算、数乘运算、同阶对角阵的乘积运算，且结果仍为对角阵。
香草天空
2024-05-19 09:12:13
则Ax1 =s1 x1, Ax2=s2x2 ..., Axn = snxn
或A(x1,x2,...,xn) = (x1,x2,...,xn)diag (s1, s2,...,sn)
diag(s1, s2,...,sn)表示(s1, s2,...,sn)为对角元素的方阵
因为x1,x2,...,xn线性无关，所以矩阵(x1,x2,...,xn)满秩可逆
所以
(x1,x2,...,xn)'A(x1,x2,...,xn) = diag(s1,s2,...sn)
其中(x1,x2,...,xn)'为(x1,x2,...,xn)的逆矩阵
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