你初一有学相似三角么？ 初三的就有看看有没会的？ 相似三角形典型例题讲解 初中九年级数学 例题1 观察能力训练指出下列图形中的A型图和X型图。 解：（1）A型图有EBC，DF∥BC；X型图有ACBF，AF∥BC；ACBE，AB∥CE.（2）A型图有BAD，EM∥AD；OBC，MN∥BC；CAD，NF∥AD；X型图有ANDM，AD∥MN.（3）A型图有ABD，EO∥BD；ADC，OF∥DC；ABC，EF∥BC.（4）A型图有ABC，EF∥BC；X型图有ECFB，EF∥BC.例题2已知线段AB ，在AB上取一点C，使AC：CB=2：3，画出图形，保留痕迹.解：如图把一线段分成两部分的方法：（1）先找出这条线段的总份数.（2）利用平行线等分线段定理，把它分成n等分.（3）再看每部分占的份数. 例题3 已知：如图(1)E为平行四边形ABCD边CD延长线上的一点，连结BE交AC于O，求证：BO2=OF. OE.分析：这是一个比例中项式，（也是等积式），化成比例式，找线段，找平行；化成 ，OB、OE、OF，在同一直线上，因此，不能应用相关定理，于是想到用中间比，由图和已知有,从而获证.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CE，AD∥BC。∴，.∴， ∴OB2=OE. OF.注意：(1)在证明时,常常把等积式转化成比例式.(2)证明比例式时常利用中间比来证明.(3)当证明的比例式中的线段在同一直线上时,常采用相等的线段,相等的比,相等的等积式来代换相应的量. 例题4已知：如图（2）梯形ABCD中，AB∥CD，M为AB的中点，分别连结AC、BD、MD、MC，且AC与MD交于E，DB与MC交于F，（1）求证：EF∥CD；（2）若AB=2a，CD=b，求EF. 分析：要证明平行，运用平行线分线段成比例定理推论的逆定理：推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。这里的关键是EF、CD截哪个三角形？，然后证明它截得两边上的对应线段成比例即可.证明：（1）∵AB∥CD，∴，.又∵AM=MB， ∴.∴ EF∥CD（2）解： ∵AB∥CD， ∴，又∵AM=MB=AB=×2a=a，CD=b，∴. ∴，即，∵EF∥CD， ∴. ∴，∴EF=.注意：(1)利用三角形一边平行线的判定定理证两直线平行的一般步骤: ①首先观察所证平行线截哪个三角形;②再观察它们截这个三角形的哪两边; ③最后只需证明这两条边上对应线段成比例即可.(2)当已知中有相等线段时,常利用它们和同一条线段(或其他相等线段)的比作为中间比.例题5 已知:如图△ABC中,D、E分别是BC和AC上的两点，连结DE并延长交BA的延长线于F，且BD=DC.求证：.分析：欲证比例式，找平行.题设中没有应考虑作平行线.证明：过A用AM∥DFU交BD于M，在△ AMC中，AM∥ED，∴在△BFD中，AM∥FD， ∴∵BD=DC， ∴.本题还有另一种方法过A作AN∥BC交DF于N。也可以证出，同学们自己证明.例题6已知：如图AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连结AD、BC它们交于E，EF⊥BD于F，求证：。分析：要证，只需要证即可，而且①②，由① ＋ ②即得证.证明：∵ AB⊥BD， EF⊥BD， CD⊥BD。∴AB∥EF∥CD， ∴；.∴=1∴∴注意：①证明形如的问题常转化为的形式来证明.②一条线段上的一点将这条线段分成的两条线段一原线段 的比的和为1，我们经常利用这种方法证明定值问题。也就是把比化到同一直线上.例题7 （1）阅读下列材料补全证明过程：已知，如图矩形ABCD中，AC、BD交于O点，OE⊥BC于E，连结ED交OC于F，作FG⊥BC于G，求证：点G是线段BC的一个三等分点.证明：在矩形ABCD中，OE⊥BC，DC⊥BC，∴，∴，∴。（2）请你仿照上面的画法，在原图上画一个四等分点，要求：保留画图痕迹，不写画法及证明过程。分析：这是一种新的等分线段的方法，主要是根据平行线分线段成比例定理.点G是线段BC的三等分点，即证.证明：（1）补充证明方法1: ∵FG∥DC，∴由矩形ABCD,∵AB∥=CD. ∴，又∵FG∥AB， ∴，∴点G是BC的三等分点。补充证明方法2： ∵ FG∥DC，∴， ∴.又∵O是AC的中点, ∴ E是BC的中点.∴,∴点G是BC的三等分点（2）作法：连结GD交OC于H，过H作HI⊥BC于I，则I为BC的一个四等分点。
