设ai ≥1,i=1,2,...,n,求证:(1+a1)(1+a2)...(1+an) ≥[2^n/(n+1)](1+a1+a2+...+an).
最新回答
╭⌒浅浅笑
2024-10-15 16:23:24
设ai = 1+2bi, 则有bi ≥ 0, 对i = 1, 2,..., n成立.
代入得左端 = (2+2b1)(2+2b2)...(2+2bn) = 2^n·(1+b1)(1+b2)...(1+bn).
由bi ≥ 0, 乘开即得(1+b1)(1+b2)...(1+bn) ≥ 1+b1+b2+...+bn.
故左端 ≥ 2^n·(1+b1+b2+...+bn).
而右端 = 2^n·(n+1+2b1+2b2+...+2bn)/(n+1) = 2^n·(1+(2/(n+1))·(b1+b2+...+bn)).
由n ≥ 1, 2/(n+1) ≤ 1, 故右端 ≤ 2^n·(1+b1+b2+...+bn) ≤ 左端.
幼儿园的小酷比
2024-10-15 21:57:46
这类题一看，用直接法几乎不能证明，所以可以用间接法，即：
①，当n=1时，左边等于右边等于1 a1，成立
（加号有可能显示不出来，这是我Uc的问题，望见谅！）
②，假设n=k时成立，
再利用②去证明n=k 1时成立就行了。
我身边没有草稿本，而且加号不能显示，到时候你看得非常吃力，所以我就写了解题思路，希望你能理解。
希望对你有所帮助！
不懂请追问！
望采纳！
追问
谢谢，可是怎么证明n=k+1时成立呢？
追答
已经假设n=k成立了，即n=k时左边大于等于右边，两边同时乘以a（k 1），如果右边乘以a（k 1）仍然大于等于当n=k 1时写出来的右边，即可证明。
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