图形学笔记十三 Materials and Appearances 材质和外观

参考课程：
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=17

我们研究材质，其实是研究材质如何与光线作用，也就是研究BRDF，这个思想将是这节的核心。

对于漫反射材质，之前我们经验性地定义过漫反射系数。在Blinn Phong的时候，我们用 Intensity/R² 来不准确地定义到达着色点的能量。现在我们给漫反射项的系数来一个准确的定义。

定义材质是漫反射，也就是无论哪个方向的光进来，都会被均匀地反射到四面八方去。

我们现在人为地做这么一个场景。我们认为空间中从任何一个方向进来的光，它的Radiance都是一样的，也就是让进来和反射的光都是uniform(均匀)的。

有了以上条件之后，假设这个点不发光且不吸收光，我们就可以利用能量守恒，也就是进来的光的能量多少，出去也得多少。总结一下，入射和出射的Irradiance是相等的并且Radiance都是uniform(均匀)的，所以可知 入射光和出射光的Radiance是一样的。

有了这个观察总结以后，渲染方程中的入射光可以从积分里拿出来，然后进行半球上cosθ的立体角积分就是 π 。然后能量守恒 L i = L o ，于是我们得到 f r = 1 / π 时，就是完全不吸收能量的BRDF。

我们可以定义一个反射率（albedo），可以是单通道的数，也可以是三通道的RGB，它在0到1之间，于是有了它就可以引入不同颜色的BRDF，也就是 f r =ρ/π，所以漫反射系数的大小是0到1/π。

反射情况介于镜面反射和漫反射之间的材质，我们称为Glossy material。它不是完全的镜子，比镜子粗糙一些，就像铜镜。

反射和折射都有的材料的，类似玻璃与水，我们称之为 Ideal reflective / refractive material

如图，wo+wi就是沿法线长度的那个向量，大小就是那个平行四边形的对角线，也就是2倍红线的长度。而红线的长度，就是wi点乘法线向量n。最终的公式，就知道了，根据入射光，如何求出射光向量。

从球坐标，方位角的方式来理解，即从顶部往下看，出射和入射正好差了π，然后2π循环，求余一下。

下图为完美镜面反射的效果图。我们用BRDF来描述完美镜面反射的时候，要用到δ函数，写出正确的BRDF有些困难。

闫老师认为翻译成焦散，并不准确。因为发生这个现象是因为聚焦，而不是散射。光线打到凹凸不平的海水表面，会往不同的方向折射。对于海底的某个点，有几率接受来自不同方向打过来的光，都正好打在某个位置，就像拿放大镜把光聚到一块，在某些地方就会产生条状的亮纹。

这个现象对渲染来讲，计算量非常大。

入射角正弦值×入射材质折射率=折射角正弦×出射材质折射率

参考 https://www.zhihu.com/question/29969687/answer/916899633
折射是我们学习过的第一批光学现象，它看起来非常简单，光从一种介质射入另一种介质将会在界面处改变方向，折射率越大的介质，传播方向越靠近法线——我们还学习过一个定量计算的“斯涅尔定律” （Snell’s law），其中n1和n2是两种介质的折射率，θ1和θ2是入射光和折射光与法线的夹角。

通过上面的公式，可以计算折射角的余弦：

根据这个公式，折射发生时，cos θt是一个有意义的实数。也就是说当出现以下条件时，折射不可能发生：

也就是说，如果入射介质的折射率大于折射介质的折射率，就会出现没有折射的现象，即全反射。

这种现象的实际意义在于，在做光追时，如果光线折射进入一个玻璃物体内，就有可能发生全反射。

折射也需要对应一种 “BRDF”，但是我们知道BRDF的R是反射(Reflectance)，所以折射应该叫BTDF，T为折射(Transmittance)。把这两个统称起来我们可以叫做BSDF，S表示散射(Scattering)。不管反射折射我们都认为是一种散射，BSDF（散射） = BRDF（反射） + BTDF（折射）

我们有这么一个例子，一本书靠在墙边，我们从上到下不同视角看它。我们发现一个问题，我们类似垂直看下去，几乎看不到什么反射；但是几乎平着看过去，反射特别明显。所以有多少光被反射，是和入射光与法线的角度有关系的。用菲涅尔项我们就可以判定有多少能量被反射，有多少能量被折射。

举个例子，在生活中，比如坐在大巴车上，我们看自己旁边的窗户，比较容易看到外面去，但是看着前后几排的窗户，可能只有反射

对于导体来说又是另一种菲涅尔项。所以古代用铜镜和银镜，其实也是因为它们在任何情况下反射率都挺高的。并且先降再升的曲线也很神奇。

我们要怎么样准确计算菲涅尔项呢？有很复杂的公式，S和P是两个极化方向，平时我们把它们平均起来就好。我们也有简化的公式，施利克近似—Schlick’s approximation

为什么要引入菲涅尔项，是因为我们要引入真正基于物理的材质——微表面模型。

我们先从卫星图引入，可以看出拍摄的地球有一个高光在澳大利亚，这个高光挺完美，和球面似的。但是我们会觉得不对，因为地球表面有山啊树啊地形啊什么的，应该是一个相当复杂的表面。但是现在却看到类似平面高光，还有一定粗糙程度。这说明从远处看，我们看不到各种细节，只会看成一个表面，带点粗糙程度的样子。

微表面模型做了这么一个事情：它假设物体表面是粗糙的，从远处看是一个粗糙的平面（ 从远处看到的是外观 ）。从近处看可以看到凹凸不平的表面，并且每一个表面的微元都是完完全全镜面反射的物体，都有各自的朝向和法线（ 从近处看到的是几何 ）。

我们为什么要研究这个呢？我们可以研究这些微表面本身法线的分布，这些分布可以代表不同粗糙程度的材质。

我们可以看到微表面模型的一些例子：

如果提到PBR（Physically Based Rendering / Shading）就一定会提到微表面模型。微表面模型也有一些缺点，Diffuse比较少，有时要加额外的漫反射的东西。微表面模型是统称，其实有很多不同的模型，但是都遵守微表面这一套。

下图是电梯间内部的图，电梯间的小灯打出的高光是条状的，这和我们之前椭圆状的高光的认识不符，这也是由于材质造成的， 这是被磨过的金属造成的高光。 于是我们引出了接下来区分材质的方法，各向同性与各向异性材质。

反映在BRDF上的效果，如果这个BRDF在方位角上旋转得不到相同的BRDF，我们就叫它是各向异性材质。

交换入射和出射，结果一致

能量要么前后一致，要么变小（被吸收），最后的能量结果是收敛的。

各向同性：BRDF只与相对方位角有关。根据可逆性，BRDF可以不用考虑方位角的大小，只需要他们差的绝对值，便于储存。

实际测量出来的BRDF和推算出来的BRDF经常会有很大差距。如果可以测量的话，也就不用推导模型，直接用数据了。